miércoles, 14 de agosto de 2013

Estamos llegando al final de este curso, en esta semana vamos a investigar acerca de las ecuaciones cuadráticas y a escribir un resumen,  máximo de dos páginas incluyendo la presentación, que contenga la siguiente información:
  • Diferencia entre una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.
La ecuación lineal... la X no tiene exponente (en realidad sí, es 1 y no se pone) Ej. De Ecuación Lineal.

Y = X+ 2
f(x) = 3/4 X
Y = 2

En cambio la ecuación cuadrática siempre va a tener 3 términos -aunque alguno de ellos no figure... por ej. 0X, no se pone-: A es el que tiene la X al cuadrado, B tiene X solamente, y C que es término independiente.

Ej. De Ecuación Cuadrática

Y = X2(al cuadrado) + 2X + 6
término A=1 . Término B=2. Término C=6

f(x) = - 3X2 - 8X
término A=-3 ... término B=-8 ... término C=0

Y = 4X2 + 6
término A=4 ... término B=0 .. Término C=6

Puede faltar el término B ó C... pero nunca el A porque si no, pasa a ser lineal.

El gráfico de la cuadrática es una parábola... tiene 2 ramas unidas por un vértice.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de cero.

Una ecuación lineal
es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Sin embargo una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado.1 2 Es decir que la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos.

  • Métodos para resolver una ecuación cuadrática.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0. La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:


Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:


1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x
= 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:


Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a:

Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8




Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: 

x2 + bx +?

Regla para hallar el último término de x2 + bx +?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es:

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión: conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número desolaciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

1) X2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Solución por factorización 

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. 
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.

Solución por la fórmula general
 
  
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula. 
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.


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